卷十二 志二　历(上) 景初历法

　　夫天地之所贵者生也，万物之所尊者人也。役智穷神，无幽不察，是以动作云为，皆应天地之象。古先圣哲，拟辰极，制浑仪。夫阴阳二气，陶育群品，精象所寄，是为日月。群生之性，章为五才，五才之灵，五星是也。历所以拟天行而序七耀，纪万国而授人时。黄帝使大挠造六甲，容成制历象，羲和占日，常仪占月。少昊氏有凤鸟之瑞，以鸟名官，而凤鸟氏司历。颛顼之代，南正重司天，北正黎司地。尧复育重黎之后，使治旧职，分命羲和，钦若昊天。故《虞书》曰：“期三百有六旬六日，以闰月定四时成岁。”其后授舜，曰：“天之历数在尔躬。”舜亦以命禹。爰及殷、周二代，皆创业革制，而服色从之。顺其时气以应天道，万物群生，蒙其利泽。三王既谢，史职废官，故孔子正《春秋》，以明司历之过。秦兼天下，自以为水德，以十月为正，服色上黑。

　　汉兴，袭秦正朔，北平侯张苍首言律历之事，以《颛顼历》比于六历，所失差近。施用至武帝元封七年，太中大夫公孙卿、壶遂、太史令司马迁等，言历纪废坏，宜改正朔，易服色，所以明受之于天也。乃诏遂等造汉历。选邓平、长乐司马可及人间治历者，二十余人。方士唐都分天部，落下闳运算转历。其法积八十一寸，则一日之分也，闳与邓平所治同。于是皆观星度，日月行，更以算推，如闳、平法，一月之日二十九日八十一分日之四十三。诏迁用邓平所造八十一分律历，以平为太史丞。至元凤三年，太史令张寿王上书，以为元年用黄帝《调历》，“令阴阳不调，更历之过”。诏下主历使者鲜于妄人与治历大司农中丞麻光等二十余人杂候晦朔弦望二十四气。又诏丞相、御史、大将军、右将军史各一人杂候上林清台，课诸疏密，凡十一家，起三年尽五年。寿王课疏远。又汉元年不用黄帝《调历》，效劾寿王逆天地，大不敬，诏勿劾。复候，尽六年，《太初历》第一。寿王历乃太史官《殷历》也。寿王再劾不服，竟下吏。至孝成时，刘向总六历，列是非，作《五纪论》。向子歆作《三统历》以说《春秋》，属辞比事，虽尽精巧，非其实也。班固谓之密要，故汉《历志》述之。校之何承天等六家之历，虽六元不同，分章或异，至今所差，或三日，或二日数时，考其远近，率皆六国及秦时有人所造。其术斗分多，上不可检于《春秋》，下不验于汉、魏，虽复假称帝王，只足以惑时人耳。

　　光武建武八年，太仆朱浮上言历纪不正，宜当改治，时所差尚微，未遑考正。明帝永平中，待诏杨岑、张盛、景防等典治历，但改易加时弦望，未能综校历元也。至元和二年，《太初》失天益远，宿度相觉浸多，候者皆知日宿差五度，冬至之日在斗二十一度，晦朔弦望，先天一日。章帝召治历编欣、李梵等综核意状。遂下诏书称：“《春秋保乾图》曰：‘三百年斗历改宪。’史官用《太初》邓平术，有余分一，在三百年之域，行度转差，浸以缪错，璇玑不正，文象不稽。冬至之日，日在斗二十二度，先立春一日，则《四分》之立春日也。而以折狱断大刑，于气已逆；用望平和，盖亦远矣。今改行《四分》，以遵尧顺孔，奉天之文，同心敬授，傥获咸熙。”于是《四分法》施行。黄帝以来诸历以为冬至在牵牛初者，皆黜焉。

　　和帝永元十四年，待诏太史霍融上言：“官漏刻率九日增减一刻，不与天相应，或时差至二刻半，不如夏历密。”其年十一月甲寅，诏曰：“漏所以节时分，定昏明。昏明长短，起于日去极远近，日道周圜，不可以计率分。官漏九日增减一刻，违失其实，以晷景为刻，密近有验，今下晷景漏刻四十八箭。”其二十四气日所在，并黄道去极、晷景、漏刻、昏明中星，并列载于《续汉律历志》。安帝延光三年，中竭者亶诵上书言当用甲寅元，河南梁丰云当复用《太初》。尚书郎张衡、周兴皆审历，数难诵、丰，或不能对，或云失误。衡等参案仪注，考往校今，以为《九道法》最密。诏下公卿详议。太尉恺等参议：“《太初》过天一度，月以晦见西方。元和改从《四分》，《四分》虽密于《太初》，复不正，皆不可用。甲寅元与天相应，合图谶，可施行。”议者不同。尚书令忠上奏：“天之历数，不可任疑从虚，以非易是。”亶等遂寝。

　　灵帝熹平四年，五官郎中冯光、沛相上计掾陈晃等言：“历元不正，故盗贼为害。历当以甲寅为元，不用庚申，乞本庚申元经纬明文。”诏下三府，与儒林明道术者详议。群臣会司徒府集议。议郎蔡邕曰：“历数精微，术无常是。汉兴承秦，历用《颛顼》，元用乙卯；百有二岁，孝武皇帝始改《太初》，元用丁丑。行之百八十九岁，孝章帝改从《四分》，元用庚申。今光等以庚申为非，甲寅为是。按历法，黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁，各自有元。光、晃所援，则殷历元也。昔始用《太初》丁丑之后，六家纷错，争讼是非。张寿王挟甲寅元以非汉历，杂候清台，课在下第。《太初》效验，无所漏失。是则虽非图谶之元，而有效于前者也。及用《四分》以来，考之行度，密于《太初》，是又新元有效于今者也。故延光中，亶诵亦非《四分》，言当用甲寅元，公卿参议，竟不施行。且三光之行，迟速进退，不必若一。故有古今之术。今术之不能通于古，亦犹古术不能下通于今也。又光、晃以《考灵耀》为本，二十八宿度数至日所在，错异不可参校。元和二年用至今九十二岁，而光、晃言阴阳不和，奸臣盗贼，皆元之咎。元和诏书，文备义著，非群臣议者所能变易。”三公从邕议，以光、晃不敬，正鬼薪法，诏书勿治罪。

　　何承天曰：夫历数之术，若心所不达，虽复通人前识，无救其为敝也。是以多历年岁，未能有定。《四分》于天，出三百年而盈一日。积代不悟，徒云建历之本，必先立元，假言谶纬，遂关治乱，此之为蔽，亦已甚矣。刘歆《三统法》尤复疏阔，方于《四分》，六千余年又益一日。扬雄心惑其说，采为《太玄》，班固谓之最密，著于《汉志》；司彪因曰“自太初元年始用《三统历》，施行百有余年”。曾不忆刘歆之生，不逮太初，二三君子言历，几乎不知而妄言欤！

　　光和中，谷城门候刘洪始悟《四分》于天疏阔，更以五百八十九为纪法；百四十五为斗分，造《乾象法》。又制迟疾历以步月行。方于《太初》、《四分》，转精微矣。魏文帝黄初中，太史丞韩翊以为《乾象》减斗分太过，后当先天，造《黄初历》，以四千八百八十三为纪法，一千二百五为斗分。其后尚书令陈群奏，以为“历数难明，前代通儒多共纷争。《黄初》之元，以《四分历》久远疏阔，大魏受命，宜正历明时。韩翊首建《黄初》，犹恐不审，故以《乾象》互相参校。历三年，更相是非，舍本即末，争长短而疑尺丈，竟无时而决。按三公议，皆综尽曲理，殊涂同归，欲使效之璇玑，各尽其法，一年之间，得失足定，合于事宜。”奏可。明帝时，尚书郎杨伟制《景初历》，施用至于晋、宋。古之为历者，邓平能修旧制新，刘洪始减《四分》，又定月行迟疾，杨伟斟酌两端，以立多少之衷，因朔积分设差，以推合朔月蚀。此三人，汉、魏之善历者，然而洪之迟疾，不可以检《春秋》；伟之五星，大乖于后代，斯则洪用心尚疏，伟拘于同出上元壬辰故也。

　　魏明帝景初元年，改定历数，以建丑之月为正，改其年三月为孟夏四月。其孟仲季月，虽与正岁不同，至于郊祀、迎气、祭祠、烝尝，巡狩、搜田，分至启闭，班宣时令，皆以建寅为正。三年正月，帝崩，复用夏正。

　　杨伟表曰：“臣揽载籍，断考历数，时以纪农，月以纪事，其所由来，遐而尚矣。乃自少昊，则玄鸟司分；颛顼帝喾，则重、黎司天；唐帝、虞舜，则羲、和掌日。三代因之，则世有日官。日官司历，则颁之诸侯，诸侯受之，则颁于境内。夏后之代，羲、和湎淫，废时乱日，则《书》载《胤征》。由此观之，审农时而重人事者，历代然也。逮至周室既衰，战国横骛，告朔之羊，废而不绍，登台之礼，灭而不遵。闰分乖次而不识，孟陬失纪而莫悟，大火犹西流，而怪蛰虫之不藏也。是时也，天子不协时，司历不书日，诸侯不受职，日御不分朔，人事不恤，废弃农时。仲尼之拨乱于《春秋》，托褒贬纠正，司历失闰，则讥而书之，登台颁朔，则谓之有礼。自此以降，暨于秦、汉，乃复以孟冬为岁首，闰为后九月，中节乖错，时月纰缪，加时后天，蚀不在朔，累载相袭，久而不革也。至武帝元封七年，始乃寤其缪焉。于是改正朔，更历数，使大才通人，造《太初历》。校中朔所差，以正闰分；课中星得度，以考疏密，以建寅之月为正朔，以黄钟之月为历初。其历斗分太多，后遂疏阔。至元和二年，复用《四分历》。施而行之。至于今日，考察日蚀，率常在晦，是则斗分太多，故先密后疏而不可用也。是以臣前以制典余日，推考天路，稽之前典，验之食朔，详而精之，更建密历，则不先不后，古今中天。以昔在唐帝，协日正时，允厘百工，咸熙庶绩也。欲使当今国之典礼，凡百制度，皆韬合往古，郁然备足，乃改正朔，更历数，以大吕之月为岁首，以建子之月为历初。臣以为昔在帝代，则法曰《颛顼》，曩自轩辕，则历曰《黄帝》。暨至汉之孝武，革正朔，更历数，改元曰太初，因名《太初历》。今改元为景初，宜曰《景初历》。臣之所建《景初历》，法数则约要，施用则近密，治之则省功，学之则易知。虽复使研、桑心算，隶首运筹，重、黎司晷，羲、和察景，以考天路，步验日月，究极精微，尽术数之极者，皆未如臣如此之妙也。是以累代历数，皆疏而不密，自黄帝以来，改革不已。

　　壬辰元以来，至景初元年丁巳，岁积四千四十六，算上。此元以天正建子黄钟之月为历初，元首之岁夜半甲子朔旦冬至。

　　元法，万一千五十八。

　　纪法，千八百四十三。

　　纪月，二万二千七百九十五。

　　章岁，十九。

　　章月，二百三十五。

　　章闰，七。

　　通数，十三万四千六百三十。

　　日法，四千五百五十九。

　　余数，九千六百七十。

　　周天，六十七万三千一百五十。

　　纪日岁中，十二。

　　气法，十二。

　　没分，六万七千三百一十五。

　　没法，九百六十七。

　　月周，二万四千六百三十八。

　　通法，四十七。

　　会通，七十九万一百二十。

　　朔望合数，六万七千三百一十五。

　　入交限数，七十二万二千七百九十五。

　　通周，十二万五千六百二十一。

　　周日日余，二千五百二十八。

　　周虚，二千三十一。

　　斗分，四百五十五。

　　甲子纪第一：

　　纪首合朔，月在日道里。

　　交会差率，四十一万二千九百一十九。

　　迟疾差率，十万三千九百四十七。

　　甲戌纪第二：

　　纪首合朔，月在日道里。

　　交会差率，五十一万六千五百二十九。

　　迟疾差率，七万三千七百六十七。

　　甲申纪第三：

　　纪首合朔，月在日道里。

　　交会差率，六十二万一百三十九。

　　迟疾差率，四万三千五百八十七。

　　甲午纪第四：

　　纪首合朔，月在日道里。

　　交会差率，七十二万三千七百四十九。

　　迟疾差率，一万三千四百七。

　　甲辰纪第五：

　　纪首合朔，月在日道里。

　　交会差率，三万七千二百四十九。

　　迟疾差率，一十万八千八百四十八。

　　甲寅纪第六：

　　纪首合朔，月在日道里。

　　交会差率，十四万八百五十九。

　　迟疾差率，七万八千六百六十八。

　　交会纪差，十万三千六百一十。求其数之所生者，置一纪积月以通数乘之，会通去之，所去之余，纪差之数也。以之转加前纪，则得后纪。加之未满会通者，则纪首之岁天正合朔，月在日道里，满去之，则月在日道表。加表满在里，加里满在表。

　　迟疾纪差，三万一百八十。求其数之所生者，置一纪积月，以通数乘之，通周去之，余以减通周，所减之余，纪差之数也。以之转减前纪，则得后纪。不足减者，加通周。求次元纪差率，转减前元甲寅纪差率，余则次元甲子纪差率也。求次纪，如上法也。

　　推朔积月术曰：置壬辰元以来，尽所求年，外所求，以纪法除之，所得算外，所入纪第也，余则入纪年数。年以章月乘之，如章岁而一为积月，不尽为闰余。闰余十二以上，其年有闰。闰月以无中气为正。推朔术曰：以通数乘积月，为朔积分，如日法而一为积日，不尽为小余。以六十去积日，余为大余。大余命以纪，算外，所求年天正十一月朔日也。求次月，加大余二十九，小余二千四百一十九，小余满日法从大余，命如前，次月朔日也。小余二千一百四十以上，其月大也。推弦望，加朔大余七，小余千七百四十四，小分一，小分满二从小余，上余满日法从大余，大余满六十去之，余命以纪，算外，上弦日也。又加得望、下弦、后月朔。其月蚀望者，定小余，如所近中节间限，限数以下者，算上为日。望在中节前后各四日以还者，视限数；望在中节前后各五日以上者，视间限。

　　推二十四气术曰：置所入纪年，外所求，以余数乘之，满纪法为大余，不尽为小余。大余满六十去之，余命以纪，算外，天正十一月冬至日也。求次气，加大余十五，小余四百二，小分十一，小分满气法从小余，小余满纪法从大余，命如前，次气日也。

　　推闰月术曰：以闰余减章岁，余以岁中乘之，满章闰得一月，余满半法以上亦得一月。数从天正十一月起，算外，闰月也。闰有进退，以无中气御之。

　　大雪，十一月节。(限数千二百四十二。间限千二百四十八。)

　　冬至，十一月中。(限数千二百五十四。间限千二百四十五。)

　　小寒，十二月节。(限数千二百三十五。间限千二百二十四。)

　　大寒，十二月中。(限数千二百一十三。间限千一百九十二。)

　　立春，正月节。(限数千一百七十二。间限千一百三十七。)

　　雨水，正月中。(限数千一百一十二。间限千九十三。)

　　惊蛰，二月节。(限数千六十五。间限千二十六。)

　　春分，二月中。(限数千八。间限九百七十九。)

　　清明，三月节(限数九百五十一。间限九百二十五。)

　　谷雨，三月中。(限数九百。间限八百七十九。)

　　立夏，四月节。(限数八百五十七。间限八百四十。)

　　小满，四月中。(限数八百二十二。间限八百一十三。)

　　芒种，五月节。(限数八百。间限七百九十九。)

　　夏至，五月中。(限数七百九十八。间限八百。)

　　小暑，六月节。(限数八百五。间限八百一十五。)

　　大暑，六月中。(限数八百二十五。间限八百四十二。)

　　立秋，七月节。(限数八百五十九。间限八百八十三。)

　　处暑，七月中。(限数九百七。间限九百三十五。)

　　白露，八月节。(限数九百六十二。间限九百九十二。)

　　秋分，八月中。(限数千二十一。间限千五十一。)

　　寒露，九月节。(限数千八十。间限千一百七。)

　　霜降，九月中。(限数千一百三十三。间限千一百五十七。)

　　立冬，十月节。(限数千一百八十一。间限千一百九十八。)

　　小雪，十月中。(限数千二百一十五。间限千二百二十九。)

　　推没灭术曰：因冬至积日有小余者，加积一，以没分乘之，以没法除之，所得为大余，不尽为小余。大余满六十去之，余命以纪，算外，即去年冬至后没日也。

　　求次没，加大余六十九，小余五百九十二，小余满没法得一，从大余，命如前。小余尽，为灭也。

　　推五行用事日：立春、立夏、立秋、立冬者，即木、火、金、水始用事日也。各减其大余十八，小余四百八十三，小分六，余命以纪，算外，各四立之前土用事日也。大余不足减者，加六十；小余不足减者，减大余一，加纪法；小分不足减者，减小余一，加气法。

　　推卦用事日：因冬至大余，六其小余，《坎卦》用事日也。加小余万九十一，满元法从大余，即《中孚》用事日也。求次卦，各加大余六，小余九百六十七。其四正各因其中日，六其小余。

　　推日度术曰：以纪法乘朔积日，满周天去之，余以纪法除之，所得为度，不尽为分。命度从牛前五起，宿次除之，不满宿，则天正十一月朔夜半日所在度及分也。

　　求次日，日加一度，分不加，经斗除斗分，分少退一度。推月度术曰：以月周乘朔积日，满周天去之，余以纪法除之，所得为度，不尽为分，命如上法，则天正十一月朔夜半月所在度及分也。求次月，小月加度二十二，分八百六；大月又加一日，度十三，分六百七十九；分满纪法得一度，则次月朔夜半月所在度及分也。其冬下旬，夕在张心署之。

　　推合朔度术曰：以章岁乘朔小余，满通法为大分，不尽为小分。以大分从朔夜半日度分，分满纪法从度，命如前，则天正十一月合朔日月所共合度也。

　　求次月，加度二十九，大分九百七十七，小分四十二，小分满通法从大分，大分满纪法从度。经斗除其分，则次月合朔日月所共合度也。

　　推弦望日所在度：加合朔度七，大分七百五，小分十，微分一，微分满二从小分，小分满通法从大分，大分满纪法从度，命如前，则上弦日所在度也。又加得望、下弦、后月合也。推弦望月所在度：加合朔度九十八，大分千二百七十九，小分三十四，数满命如前，即上弦月所在度也。又加得望下弦后月合也。

　　推日月昏明度术曰：日以纪法，月以月周，乘所近节气夜漏，二百而一，为明分。日以减纪法，月以减月周，余为昏分。各以加夜半，如法为度。

　　推合朔交会月蚀术曰：置所入纪朔积分，以所入纪交会差率之数加之，以会通去之，余则所求年天正十一月合朔去交度分也。以通数加之，满会通去之，余则次月合朔去交度分也。以朔望合数各加其月合朔去交度分，满会通去之，余则各其月望去交度分也。朔望去交分如朔望合数以下，入交限数以上者，朔则交会，望则月蚀。推合朔交会月蚀月在日道表里术曰：置所入纪朔积分，以所入纪下交会差率之数加之，倍会通去之，余不满会通者，纪首表，天正合朔月在表，纪首里，天正合朔月在里。满会通去之，表在里，里在表。

　　求次月，以通数加之，满会通去之，加里满在表，加表满在里。先交会后月蚀者，朔在表则望在表，朔在里则望在里。先月蚀后交会者，看食月朔在里则望在表，朔在表则望在里。交会月蚀如朔望会数以下，则前交后会；如入交限数以上，则前会后交。其前交后会近于限数者，则豫伺之前月；前会后交近于限数者，则后伺之后月。

　　求去交度术曰：其前交后会者，今去交度分如日法而一，所得则却去交度也。其前会后交者，以去交度分减会通，余如日法而一，所得则前去交度，余皆度分也。去交度十五以上，虽交不蚀也。十以下是蚀，十以上亏蚀微少，光晷相及而已。亏之多少，以十五为法。

　　求日蚀亏起角术曰：其月在外道，先交后会者，亏蚀西南角起；先会后交者，亏蚀东南角起。其月在内道，先交后会者，亏食西北角起；先会后交者，亏食东北角起。亏食分多少，如上以十五为法。会交中者，蚀尽。月蚀在日之冲，亏角与上反也。

(图表见原文)

　　推合朔交会月蚀入迟疾历术曰：置所入纪朔积分，以所入纪下迟疾差率之数加之，以通周去之，余满日法得一日，不尽为日余，命日算外，则所求年天正十一月合朔入历日也。

　　求次月，加一日，日余四千四百五十。求望，加十四日，日余三千四百八十九。日余满日法成日，日满二十七去之。又除余如周日余，日余不足者，减一日，加周虚。

　　推合朔交会月蚀定大小余：以入历日余，乘所入历损益率，以损益盈缩积分为定积分。以章岁减所入历月行分，余以除之，所得以盈减缩加本小余。加之满日法者，交会加时在后日；减之，不足者，交会加时在前日。月蚀者，随定大小余为日加时。入历在周日者，以周日日余乘缩积分，为定积分。以率损乘入历日余，又以周日日余乘之，以周日日度小分并之，以损定积分，余为后定积分。以章岁减周日月行分，余以周日日余乘之，以周日度小分并之，以除后定积分，所得以加本小余，如上法。

　　推加时：以十二乘定小余，满日法得一辰，数从子起，算外，则朔望加时所在辰也。有余不尽者四之，如日法而一为少，二为半，三为太。又有余者三之，如日法而一为强，半法以上排成之，不满半法废弃之。以强并少为少强，并半为半强，并太为太强。得二强者为少弱，以之并少为半弱，以之并半为太弱，以之并太为一辰弱。以所在辰命之，则各得其少、太、半及强、弱也。其月蚀望在中节前后四日以还者，视限数；五日以上者，视间限。定小余如间限、限数以下者，以算上为日。

(图表见原文)

　　右中节二十四气，如术求之，得冬至十一月中也。加之得次月节，加节得其月中。中星以日所在为正。置所求年二十四气小余四之，如法得一为少，不尽少三之，如法为强。所以减其节气昏明中星各定。

　　推五星术：五星者，木曰岁星，火曰荧惑，土曰填星，金曰太白，水曰辰星。凡五星之行，有迟有疾，有留有逆。曩自开辟，清浊始分，则日月五星聚于星纪。发自星纪，并而行天，迟疾留逆，互相逮及。星与日会，同宿共度，则谓之合。从合至合之日，则谓之终。各以一终之日与一岁之日，通分相约，终而率之，岁数岁则谓之合终岁数，岁终则谓之合终合数。二率既定，则法数生焉。以章岁乘合数为合月法，以纪法乘合数为日度法，以章月乘岁数为合月分，如合月法为合月数，合月之余为月余。以通数乘合月数，如日法而一为大余，以六十去大余，余为星合朔大余。大余之余为朔小余。以通数乘月余，以合月法乘朔小余，并之，以日法乘合月法除之，所得星合入月日数也。余以通法约之，为入月日。以朔小余减日法，余为朔虚分。以历斗分乘合数，为星度斗分。木、火、土各以合数减岁数，余以周天乘之，如日度法而一，所得则行星度数也，余则度余。金、水以周天乘岁数，如日度法而一，所得则行星度数也，余则度余。

　　木：合终岁数，千二百五十五。

　　合终合数，千一百四十九。

　　合月法，二万一千八百三十一。

　　日度法，二百一十一万七千六百七。

　　合月数，十三。

　　月余，万一千一百二十二。

　　朔大余，二十三。

　　朔小余，四千九十三。

　　入月日，十五。

　　日余，百九十九万五千六百六十四。

　　朔虚分，四百六十六。

　　斗分，五十二万二千七百九十五。

　　行星度，三十三。

　　度余，百四十七万二千八百。

　　火：合终岁数，五千一百五。

　　合终合数，二千三百八十八。

　　合月法，四万五千三百七十二。

　　日度法，四百四十万一千八十四。

　　合月数，二十六。

　　月余，二万三。

　　朔大余，四十七。

　　朔小余，三千六百二十七。

　　入月日，十三。

　　日余，三百五十八万五千二百三十。

　　朔虚分，九百三十二。

　　斗分，百八万六千五百四十。

　　行星度，五十。

　　度余，百四十一万二千一百五十。

　　土：合终岁数，三千九百四十三。

　　合终合数，三千八百九。

　　合月法，七万二千三百七十一。

　　日度法，七百一万九千九百八十七。合月数，十二。

　　月余，五万八千一百五十三。

　　朔大余，五十四。

　　朔小余，千六百七十四。

　　入月日，二十四。

　　日余，六十七万五千三百六十四。

　　朔虚分，二千八百八十五。

　　斗分，百七十三万三千九十五。

　　行星度，十二。

　　度余，五百九十六万二千二百五十六。

　　金：合终岁数，千九百七。

　　合终合数，二千三百八十五。

　　合月法，四万五千三百一十五。

　　日度法，四百三十九万五千五百五十五。

　　合月数，九。

　　月余，四万三百一十。

　　朔大余，二十五。

　　朔小余，三千五百三十五。

　　入月日，二十七。

　　日余，十九万四千九百九十。

　　朔虚分，千二十四。

　　斗分，百八万五千一百七十五。

　　行星度，二百九十二。

　　度余，十九万四千九百九十。

　　水：合终岁数，一千八百七十。

　　合科合数，万一千七百八十九。

　　合月法，二十二万三千九百九十一。

　　日度法，二千一百七十二万七千一百二十七。

　　合月数，一。

　　月余，二十一万五千四百五十九。

　　朔大余，二十九。

　　朔小余，二千四百一十九。

　　入月日，二十八。

　　日余，二千三十四万四千二百六十一。

　　朔虚分，二千一百四十。

　　斗分，五百三十六万三千九百九十五。

　　行星度，五十七。

　　度余，二千三十四万四千二百六十一。

　　推五星术曰：置壬辰元以来尽所求年，以合终合数乘之，满合终岁数得一，名积合，不尽名合余。以合终合数减合余，得一者星合往年，得二者合前往年，无所得，合其年。余以减合终合数，为度分。金、水积合，偶为晨，奇为夕。

　　推五星合月：以月数月余各乘积合，余满合月法从月，为积月，不尽为月余。以纪月除积月，所得算外，所入纪也，余为入纪月。副以章闰乘之，满章月得一为闰，以减入纪月，余以岁中去之，余为入岁月，命以天正起，算外，星合月也。其在闰交际，以朔御之。

　　推合月朔：以通数乘入纪月，满日法得一为积日，不尽为小余。以六十去积日，余为大余，命以所入纪，算外，星合朔日也。推入月日：以通数乘月余，合月法乘朔小余，并之，通法约之，所得满日度法得一，则星合入月日也，不满为日余。命日以朔，算外，入月日也。

　　推星合度：以周天乘度分，满日度法得一为度，不尽为余，命以牛前五度起，算外，星所合度也。

　　求后合月，以月数加入岁月，以余加月余，余满合月法得一月，月不满岁中，即在其年；满去之，有闰计焉，余为后年；再满，在后二年。金、水加晨得夕，加夕得晨也。求后合朔，以朔大小余数加合朔月大小余，其月余上成月者，又加大余二十九，小余一千四百一十九，小余满日法从大余，命如前法。求后入月日，以入月日、日余加入月日及余，余满日度法得一。其前合朔小余满其虚分者，去一日；后小余满二千四百一十九以上，去二十九日；不满，去三十日，其余则后合入月日，命以朔。求后合度，以度数及分，如前合宿次命之。

　　木：晨与日合，伏，顺，十六日九十九万七千八百三十二分，行星二度百七十九万五千二百三十八分，而晨见东方，在日后。顺，疾，日行五十七分之十一，五十七日行十一度。顺，迟，日行九分，五十七日行九度而留。不行，二十七日而旋。逆，日行七分之一，八十四日退十二度，而复留二十七日。复迟，日行九分，五十七日行九度而复顺。疾，日行十一分，五十七日行十一度，在曰前，夕伏西方。顺，十六日九十九万七千八百三十二分，行星二度百七十九万五千二百三十八分，而与日合。凡一终，三百九十八日百九十九万五千六百六十四分，行星三十三度百四十七万二千八百六十九分。

　　火：晨与日合，伏，七十二日百七十九万二千六百一十五分，行星五十六度百二十四万九千三百四十五分，而晨见东方，在日后。顺，日行二十三分之十四，百八十四日行百一十二度。更顺，迟，日行十二分，九十二日行四十八度而留。不行，十一日而旋。逆，日行六十二分之十七，六十二日退十七度，而复留十一日。复顺，迟，日行十二分，九十二日，行四十八度而复疾。日行十四分，百八十四日行百一十二度，在日前，夕伏西方。顺，七十二日百七十九万二千六百一十五分，行星五十六度百二十四万九千三百四十五分，而与日合。凡一终，七百八十日三百五十八万五千二百三十分，行星四百一十五度二百四十九万八千六百九十分。

　　土：晨与日合，伏，十九日三百八十四万七千六百七十五分半，行星二度六百四十九万一千一百二十一分半，而晨见东方，在日后。顺，行百七十二分之十三，八十六日行六度半而留。不行，三十二日半而旋。逆，日行十七分之一，百二日退六度而复留。不行，三十二日半复顺，日行十三分，八十六日行六度半，在日前，夕伏西方。顺，十九日三百八十四万七千六百七十五分半，行星二度六百四十九万一千一百二十一分半，而与日合。凡一终，三百七十八日六十七万五千三百六十四分，行星十二度五百九十六万二千二百五十六分。

　　金：晨与日合，伏，六日退四度，而晨见东方，在日后而逆。迟，日行五分之三，十日退六度。留，不行，七日而旋。顺，迟，日行四十五分之三十三，四十五日行三十三度而顺。疾，日行一度九十一分之十四，九十一日行百五度而顺。益疾，日行一度九十一分之二十一，九十一日行百一十二度，在日后，而晨伏东方。顺，四十二日十九万四千九百九十分，行星五十二度十九万四千九百九十分，而与日合。一合，二百九十二日十九万四千九百九十分，行星如之。

　　金：夕与日合，伏，顺，四十二日十九万四千九百九十分，行星五十二度十九万四千九百九十分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度九十一分之二十一，九十一日行百一十二度而更顺。迟，日行一度十四分，九十一日行百五度而顺。益迟，日行四十五分之三十三，四十五日行三十三度而留。不行，七日而旋。逆，日行五分之三，十日退六度，在日前，夕伏西方。逆，六日，退四度，而与日合。凡再合一终，五百八十四日三十八万九千九百八十分，行星如之。

　　水：晨与日合，伏，十一日退七度，而晨见东方，在日后。逆，疾，一日退一度而留。不行，一日而旋。顺，迟，日行八分之七，八日行七度而顺。疾，日行一度十八分之四，十八日行二十二度，在日后，晨伏东方。顺，十八日二千三十四万四千二百六十一分，行星三十六度二千三十四万四千二百六十一分，而与日合。凡一合，五十七日二千三十四万四千二百六十一分，行星如之。

　　水：夕与日合，伏，十八日二千三十四万四千二百六十一分，行星三十六度二千三十四万四千二百六十一分，而夕见西方，在日前。顺，疾，日行一度十八分之四，十八日行二十二度而更顺。迟，日行八分之七，八日行七度而留。不行，一日而旋。逆，一日退一度，在日前，夕伏西方。逆，十一日退七度，而与日合。凡再合一终，百一十五日千八百九十六万一千三百九十五分，行星如之。

　　五星历步术：以法伏日度余，加星合日度余，余满日度法得一从全，命之如前，得星见日及度余也。以星行分母乘见度分，如日度法得一，分不尽，半法以上，亦得一，而日加所行分，分满其母得一度。逆顺母不同，以当行之母乘故分，如故母而一，当行分也。留者承前，逆则减之，伏不书度，除斗分，以行母为率。分有损益，前后相御。

　　凡五星行天，迟疾留逆，虽大率有常，至犯守逆顺，难以术推。月之行天，犹有迟疾，况五星乎！唯日之行天有常，进退有率，不迟不疾，不外不内，人君德也。

　　求木合终岁数法，以木日度法乘一木终之日，内分，周天除之，即得也。求木合终合数法，以木日度法乘周天，满纪法，所得复以周天除之，即得。五星皆放此也。

　　魏黄初元年十一月小，己卯蔀首，己亥岁，十一月己卯朔旦冬至，臣伟上。”

　　刘氏在蜀，不见改历，当是仍用汉《四分法》。吴中书令阚泽受刘洪《乾象法》于东莱徐岳字公河。故孙氏用《乾象历》，至于吴亡。

　　晋武帝泰始元年，有司奏：“王者祖气而奉其囗终，晋于五行之次应尚金，金生于己，事于酉，终于丑，宜祖以酉日，腊以丑日。改《景初历》为《泰始历》。”奏可。

　　史臣按，邹衍五德，周为火行。衍生在周时，不容不知周氏行运。且周之为历年八百，秦氏即有周之建国也。周之火木，其事易详。且五德更王，唯有二家之说。邹衍以相胜立体，刘向相生为义。据以为言，不得出此二家者。假使即刘向之说，周为木行，秦氏代周，改其行运。若不相胜，则克木者金；相生则木实生火。秦氏乃称水德，理非谬然，斯则刘氏所证为不值矣。臣以为张苍虽是汉臣，生与周接，司秦柱下，备睹图书。且秦虽灭学，不废术数，则有周遗文虽不毕在，据汉水行，事非虚作。贾谊《取秦》云：“汉土德。”盖以是汉代秦。详论二说，各有其义。张苍则以汉水胜周火，废秦不班五德。贾谊则以汉土胜秦水，以秦为一代。论秦、汉虽殊，而周为火一也。然则相胜之义，于事为长。若同苍黜秦，则汉水、魏土、晋木、宋金；若同贾谊《取秦》，则汉土、魏木、晋金、宋火也。难者云：“汉高断蛇而神母夜哭，云赤帝子杀白帝子，然则汉非火而何？”斯又不然矣。汉若为火，则当云赤帝，不宜云赤帝子也。白帝子又何义况乎？盖由汉是土德，土生乎火，秦是水德，水生乎金，斯则汉以土为赤帝子，秦以水德为白帝子也。难者又曰：“向云五德相胜，今复云土为赤帝子，何也？”答曰：“五行自有相胜之义，自有相生之义。不得以相胜废相生，相生废相胜也。相胜者，以土胜水耳；相生者，土自火子，义岂相关。”

　　崔寔《四人月令》曰：祖者，道神。黄帝之子曰累祖，好远游，死道路，故祀以为道神。合《祖赋序》曰：汉用丙午，魏用丁未，晋用孟月之酉。曰莫识祖之所由。说者云祈请道神，谓之祖有事于道者，君子行役，则列之于中路，丧者将迁，则称名于阶庭。或云，百代远祖，名谥凋灭，坟茔不复存于铭表，游魂不得托于庙祧，故以初岁良辰，建华盖，扬彩旌，将以招灵爽，庶众祖之来凭云尔。

　　晋江左时，侍中平原刘智，推三百年斗历改宪，以为《四分法》三百年而减一日，以百五十为度法，三十七为斗分。饰以浮说，以扶其理。江左中领军琅邪王朔之以其上元岁在甲子，善其术，欲以九万七千岁之甲子为开辟之始，何承天云“悼于立意”者也。《景初》日中晷景，即用汉《四分法》，是以渐就乖差。其推五星，则甚疏阔。晋江左以来，更用《乾象五星法》以代之，犹有前却。

　　宋太祖颇好历数，太子率更令何承天私撰新法。元嘉二十年，上表曰：

　　臣授性顽惰，少所关解。自昔幼年，颇好历数，耽情注意，迄于白首。臣亡舅故秘书监徐广，素善其事，有既往《七曜历》，每记其得失。自太和至泰元之末，四十许年。臣因比岁考校，至今又四十载。故其疏密差会，皆可知也。

　　夫圆极常动，七曜运行，离合去来，虽有定势，以新故相涉，自然有毫末之差，连日累岁，积微成著。是以《虞书》著钦若之典，《周易》明治历之训，言当顺天以求合，非为合以验天也。汉代杂候清台，以昏明中星，课日所在，虽不可见，月盈则蚀，必当其冲，以月推日，则躔次可知焉。舍易而不为，役心于难事，此臣所不解也。

　　《尧典》云：“日永星火，以正仲夏”。今季夏则火中。又“宵中星虚，以殷仲秋”。今季秋则虚中。尔来二千七百余年，以中星检之，所差二十七八度。则尧冬令至，日在须女十度左右也。汉之《太初历》，冬至在牵牛初，后汉《四分》及魏《景初法》，同在斗二十一。臣以月蚀检之，则《景初》今之冬至，应在斗十七。又史官受诏，以土圭测景，考校二至，差三日有余。从来积岁及交州所上，检其增减，亦相符验。然则今之二至，非天之二至也。天之南至，日在斗十三四矣。此则十九年七闰，数微多差。复改法易章，则用算滋繁，宜当随时迁革，以取其合。案《后汉志》，春分日长，秋分日短，差过半刻。寻二分在二至之间，而有长短，因识春分近夏至，故长；秋分近冬至，故短也。杨伟不悟，即用之，上历表云：“自古及今，凡诸历数，皆未能并己之妙。”何此不晓，亦何以云。是故臣更建《元嘉历》，以六百八为一纪，半之为度法，七十五为室分，以建寅之月为岁首，雨水为气初，以诸法闰余一之岁为章首。冬至从上三日五时。日之所在，移旧四度。又月有迟疾，合朔月蚀，不在朔望，亦非历意也。故元嘉皆以盈缩定其小余，以正朔望之日。

　　伏惟陛下允迪圣哲，先天不违，劬劳庶政，寅亮鸿业，究渊思于往籍，探妙旨于未闻，穷神知化，罔不该览。是以愚臣欣遇盛明，效其管穴。伏愿以臣所上《元嘉法》下史官考其疏密，若谬有可采，庶或补正阙谬，以备万分。

　　诏曰：“何承天所陈，殊有理据。可付外详之。”太史令钱乐之、兼丞严粲奏曰：

　　太子率更令领国子博士何承天表更改《元嘉历法》，以月蚀检今冬至日在斗十七，以土圭测影，知冬至已差三日。诏使付外检署。以元嘉十一年被敕，使考月蚀，土圭测影，检署由来用伟《景初法》，冬至之日，日在斗二十一度少。检十一年七月十六日望月蚀，加时在卯，到十五日四更二唱丑初始蚀，到四唱蚀既，在营室十五度末。《景初》其日日在轸三度。以月蚀所冲考之，其日日应在翼十五度半。又到十三年十二月十六日望月蚀，加时在酉，到亥初始食，到一更三唱蚀既，在鬼四度。《景初》其日日在女三。以冲考之，其日日应在牛六度半。又到十四年十二月十六日望月蚀，加时在戌之半，到二更四唱亥末始蚀，到三更一唱食既，在井三十八度。《景初》其日日在斗二十五。以冲考之，其日日应在斗二十二度半。到十五年五月十五日望月蚀，加时在戌，其日月始生而已，蚀光已生四分之一格，在斗十六度许。《景初》其日日在井二十四。考取其冲，其日日应在井二十。又到十七年九月十六日望月蚀，加时在子之少，到十五日未二更一唱始蚀，到三唱蚀十五分之十二格，在昴一度半。《景初》其日在房二。以冲考之，则其日日在氐十三度半。凡此五蚀。以月冲一百八十二度半考之，冬至之日，日并不在斗二十一度少，并在斗十七度半间，悉如承天所上。

　　又去十一年起，以土圭测影。其年《景初法》十一月七日冬至，前后阴不见影。到十二年十一月十八日冬至，其十五日影极长。到十三年十一月二十九日冬至，其二十六日影极长。到十四年十一月十一日冬至，其前后并阴不见。到十五年十一月二十一日冬至，十八日影极长。到十六年十一月二日冬至，其十月二十九日影极长。到十七年十一月十三日冬至，其十日影极长。到十八年十一月二十五日冬至，二十一日影极长。到十九年十一月六日冬至，其三日影极长。到二十年十一月十六日冬至，其前后阴不见影。寻校前后，以影极长为冬至，并差三日。以月蚀检日所在，已差四度。土圭测影，冬至又差三日。今之冬至，乃在斗十四间，又如承天所上。

　　又承天法，每月朔望及弦，皆定大小余，于推交会时刻虽审，皆用盈缩，则月有频三大、频二小，比旧法殊为异。旧日蚀不唯在朔，亦有在晦及二日。《公羊传》所谓“或失之前，或失之后”。愚谓此一条自宜仍旧。

　　员外散骑郎皮延宗又难承天：“若晦朔定大小余，纪首值盈，则退一日，便应以故岁之晦，为新纪之首。”承天乃改新法依旧术，不复每月定大小余，如延宗所难，太史所上。

　　有司奏：“治历改宪，经国盛典，爰及汉、魏，屡有变革。良由术无常是，取协当时。方今皇猷载晖，旧域光被，诚应综核晷度，以播维新。承天历术，合可施用。宋二十二年，普用《元嘉历》。”诏可。