卷三十二 志八　历(二) 大统历法(一上) 法原

　　大統曆法一上法原

　　造曆者各有本原，史宜備錄，使後世有以考。如太初之起數鍾律，大衍之造端蓍策，皆詳本志。授時曆以測驗算術為宗，惟求合天，不牽合律呂、卦爻。然其法之所以立，數之所從出，以及晷影、星度，皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中，有書名可考。元史漫無采摭，僅存李謙之議錄、曆經之初稿。其後改三應率及立成之數，與夫割圓弧矢之法，平立定三差之原，盡削不載。使作者精意湮沒，識者憾焉。今據大統曆通軌及曆草諸書，稍為編次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股測望，曰弧矢割圓，曰黃赤道差，曰黃赤道內外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。

　　句股測望

　　北京立四丈表，冬至日午正，測得景長七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半，為半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半徑，截矢餘五十四度九十六分為股，乃本地去戴日下之度。以弦股別句術，求得句二十六度一十七分六十六秒，為日出地半弧弦。

　　北京立四丈表，夏至日午正，測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半，為半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半徑，截矢餘一十七度一十三分二十五秒為句，乃本地去戴日下之度。以句弦別股術，求得股五十八度四十五分半，為日出地半弧弦。

　　以二至日度相併，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，為北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一，餘四十度九十四分九十三秒七十五微，為北京北極出地度。

　　弧矢割圓

　　周天徑一百二十一度七十五分少。【少不用。】

　　半徑六十○度八十七分半。【又為黃赤道大弦。】

　　二至黃赤道內外半弧背二十四度。【所測就整。】

　　二至黃赤道弧矢四度八十四分八十二秒。　

　　黃赤道大句二十三度八十分七十秒。　

　　黃赤道大股五十六度○二分六十八秒。【半徑內減去矢度之數。】

　　割圓求矢術　置半弧背度自之，為半弧背羃，周天徑自之，為上廉。　上廉乘半弧背羃，為正實。　上廉乘徑，為益從方。　半弧背倍之，乘徑，為下廉。　以初商乘上廉，得數以減益從方，餘為從方。　置初商自之以減下廉，餘以初商乘之，為從廉。　從方、從廉相並，為下法。　下法乘初商，以減正實，實不足減，改初商。實有不盡，次第商除之。　倍初商數，與次商相並以乘上廉，得數以減益從方，餘為從方。　并初商次商而自之，又以初商自之，並二數以減下廉，餘以初商倍數並次商乘之，為從廉。　從方、從廉相並，為下法。　下法乘次商，以減餘實，而定次商。有不盡者，如法商之，皆以商得數為矢度之數。【黃赤道同用。】

　　如以半弧背一度求矢度。　術曰：置半弧背一度自之，得一度，為半弧背羃。　置周天徑一百二十一度太自之，得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒，為上廉。　上廉乘半弧背羃，得一萬四千八百二十三度○六分二五，為正實。　上廉又乘徑，得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五，為益從方。　半弧背一度倍之，得二度，以乘徑得二百四十三度五十分，為下廉。　初商八十秒。　置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五，得一百一十八度五八四五，以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五，餘一百八十○萬四千五百八十九度二七四八七五，為從方。　又置初商八十秒自之，得六十四微，以減下廉，餘二百四十三度四九九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，為從廉。　以從廉、從方並之，共得一百八十○萬四千五百九十一度二二二八七四四八八，為下法。　下法乘初商，得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九○四，以減正實，餘實三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六。　次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二秒，得一分六十二秒，乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五，得二百四十○度一三三六一二五，以減益從方，餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七六二五，為從方。　又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之數，得一秒三十一微，以減下廉，餘二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，為從廉。　以從廉、從方並，得一百八十○萬四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八，為下法。　下法乘次商，得三百六十○度八九四三三四○九二○七五五六，以減餘實，仍餘二十五度四三八三八二九一二○二○四四。【不足一秒棄不用，下同。】

　　凡求得矢度八十二秒，餘度各如上法，求到矢度，以為黃赤相求及其內外度之根。【數詳後。】

　　黃赤道差

　　求黃道各度下赤道積度術。　置周天半徑內減去黃道矢度，餘為黃赤道小弦。　置黃赤道小弦，以黃赤道大股乘之【大股見割圓】為實。　黃赤道大弦【半徑】為法。實如法而一，為黃赤道小股。　置黃道矢自乘為實，以周天全徑為法，實如法而一，為黃道半背弦差。　以差去減黃道積度，【即黃道半弧背。】餘為黃道半弧弦。　置黃道半弧弦自之為股羃，黃赤道小股自之為句羃，二羃並之，以開平方法除之，為赤道小弦。　置黃道半弧弦，以周天半徑【亦為赤道大弦】乘之為實，以赤道小弦為法而一，為赤道半弧弦。　置黃赤道小股，【亦為赤道橫小句。】以赤道大弦【即半徑】乘之為實，以赤道小弦為法而一，為赤道橫大句，以減半徑，餘為赤道橫弧矢。橫弧矢自之為實，以全徑為法而一，為赤道半背弦差。　以差加赤道半弧弦，為赤道積度。

　　如黃道半弧背一度，求赤道積度。　術曰：置半徑六十○度八十七分五十秒，【即黃赤道大弦。】內減黃道矢八十二秒餘六十○度八六六八，為黃赤道小弦。　置黃赤道小弦，以黃赤道大股五十六度○二六八乘之，得三千四百一十○度一七二○三○二四為實，以黃赤道大弦六十○度八七五為法，實如法而一，得五十六度○一分九十二秒，為黃赤道小股。【又為赤道小句。】　置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全徑一百二十一度七五為法，除之得五十五纖，為黃道半背弦差。　置黃道半弧背一度，內減黃道半背弦差，餘為半弧弦，因差在微以下不減，即用一度為半弧弦。　置黃道半弧弦一度自之，得一度為股羃。黃赤道小股五十六度○一九二自之，得三千一百三十八度一五○七六八六四為句羃。二羃並得三千一百三十九度一五○七六八六四為弦實，平方開之，得五十六度○二八一，為赤道小弦。　置黃道半弧弦一度，以半徑【即赤道大弦】乘之，得六十○度八七五為實，以赤道小弦五十六度○二八一為法除之，得一度○八分六十五秒，為赤道半弧弦。　置黃赤道小股五十六度○一九二，【又為赤道小句。】以赤道大弦【半徑】六十○度八七五乘之，得三千四百一十○度一六八八為實，以赤道小弦為法除之，得六十○度八十六分五十三秒，為赤道橫大句。　置半徑六十○度八十七分五十秒，內減赤道大句六十○度八十六分五十三秒，餘九十七秒，為赤道橫弧矢。　置赤道橫弧矢九十七秒自之，得九十四微○九，以全徑為法除之，得七十七纖，為赤道背弦差。　置赤道半弧弦一度○八分六十五秒，加赤道背弦差，為赤道積度，今差在微已下不加，即用半弧弦為積度。

　　凡求得赤道積度一度○八分六十五秒。餘度各如上法，求到各黃道度下赤道積度，兩數相減，即得黃赤道差，乃至後之率。其分後，以赤道度求黃道，反此求之，其數並同。

(图表见原文)

　　黃赤相求弧矢諸率立成下

(图表见原文)

　　按郭守敬創法五端，內一曰黃道差，此其根率也。舊法以一百一度相減乘。授時立術，以句股、弧矢、方圓、斜直所容，求其差數，合於渾象之理，視古為密。顧至元曆經所載甚略，又誤以黃道矢度為積差，黃道矢差為差率，今正之。

　　割圓弧矢圖(图表见原文)

　　凡渾圓中剖，則成平圓。任割平圓之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，則有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢生句股形，以半弧弦為句，矢減半徑之餘為股，半徑為弦。句股內成小句股，則有小句、小股、小弦，而大小可互求，平側可互用，渾圓之理，斯為密近。

　　側立之圖(图表见原文)

　　平者為赤道，斜者為黃道。因二至黃赤之距，生大句股。因各度黃赤之距，生小句股。

　　平視之圖(图表见原文)

　　外大圓為赤道。從北極平視，則黃道在赤道內，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大句股。又各有其相當之黃道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。

　　按舊史無圖，然表亦圖之屬也。今句股割圓弧矢之法，實為曆家測算之本。非圖不明，因存其要者數端。

　　黃赤道內外度

　　推黃道各度，距赤道內外及去極遠近術。　置半徑內減去赤道小弦，餘為赤道二弦差。【又為黃赤道小弧矢，又為內外矢，又為股弦差。】　置半徑內減去黃道矢度，餘為黃赤道小弦。以二至黃赤道內外半弧弦乘之為實，以黃赤道大弦為法，【即半徑。】除之為黃赤道小弧弦。【即黃赤道內外半弧弦，又為黃赤道小句。】　置黃赤道小弧矢自之，【即赤道二弦差。】以全徑除之，為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背，即黃赤道內外度。　置黃赤道內外度，視在盈初縮末限以加，在縮初盈末限以減，皆加減象限度，即各得太陽去北極度分。

　　如冬至後四十四度，求太陽去赤道內外及去極度。　術曰：置半徑六十○度八十七分半，內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，餘二度五十一分八十一秒，為黃赤道小弧矢。【即內外矢。】　置半徑六十○度八七五，內減黃道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，餘四十四度三十○分六十八秒，為黃赤道小弦。　置黃赤道小弦，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千○五十○度五十一分四二三八為實，以黃赤道大弦六十○度八七五為法除之，得一十七度二十五分六十九秒為黃赤道小弧弦。【即內外半弧弦。】　置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實，以全徑一百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒為背弦差，以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十○分八十九秒，為二至前後四十四度，太陽去赤道內外度。　置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以內外度一十七度三○八九加之，得一百○八度六十二分三十二秒七五，為冬至後四十四度太陽去北極度。

　　黃道每度去赤道內外及去北極立成

(图表见原文)

　　白道交周

　　推白赤道正交，距黃赤道正交極數。　術曰：置實測白道出入黃道內外六度為半弧弦，又為大圓弧矢，又為股弦差。置半徑六十○度八七五自之，得三千七百○五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分為股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分為大圓徑。依法求得容闊五度七十分，又為小句。　又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句。　以大句為法，除大股五十六度○六分五十秒，得二度三十七分【就整】為度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，為容半長。　置半徑六十○度八七五為大弦，以乘小句五度七十分為實，以大句二十三度七十一分為法除之，得一十四度六十三分為小弦，又為白赤道正交，距黃赤道正交半弧弦。依法求得半弧背一十四度六十六分，為白赤道正交距黃赤道正交極數。

　　月道距差图(图表见原文)